ゆるふわクオンツの日常

東芝SBMの疑似量子アニーリング?でポートフォリオ最適化メモ

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※今回の記事は専門じゃないことを記載しているので、間違いがあるかもですが、その際はコメントいただけると幸いです。

さて、今更感がありますが、東芝のシミュレーテッド分岐マシン(以下SBM)なるソルバーを使ってみました。

www.global.toshiba

このSBMというのは量子コンピュータ(イジング方式)が得意な計算を

普通のコンピュータでできるようにしてみたアルゴリズムのことだそうです。

イジング方式は組み合わせ最適化問題が得意(超早い)ということで

実用性はいったん置いておいて、とりあえずポートフォリオ最適化を

整数計画にアレンジした際のやり方をメモしました。

ノリ的にはalpacaさんがarXivにあげている以下の論文と似ているかと思います。

https://arxiv.org/pdf/2009.08412.pdf

なお、SBMは以下のAWS marketplacesにて販売されています(FPGAではなくGPU版)。

aws.amazon.com

量子アニーリング

余裕で専門外なのでざっくりとした話しかできないのですが

そもそも量子コンピュータというのは2種類に分類できるもので

  1. ゲート方式

  2. イジング方式

という2種類があるみたいです。

で、ゲート方式というのは汎用的なマシンのことで

イジング方式は組み合わせ最適化に特化した量子コンピュータのようです。

IBM-Qやgoogleマシンがゲート方式で、D-WAVEがイジング方式みたいです。

で、そのイジング方式は、量子アニーリングという手法で

量子焼きなまし法 - Wikipedia

組み合わせ最適化を解くのですが、それを普通のPCで解けるようにしたのが

今回触ってみる東芝様のSBMというものになります。

ちなみに量子コンピュータそのものについては、

東大が公開している以下のmaterialが役に立ちそうです。

utokyo-icepp.github.io

問題設定

あまり筋が良いとは思えませんが、

いわゆるポートフォリオ最適化に対してSBMを適用してみたいと思います。

通常のポートフォリオ最適化は

 w \in \mathbb{R}を最適ウェイトとして  max_{w} \mu^{T} w - \lambda w^{T} \Sigma w

みたいなものを解くわけですが、

SBMで解くためには、 以下の形(イジング問題)に変換する必要があります。

 x を成分が 0または 1からなるベクトルとして  min_{x} x^{T}Z x

この ZSBMインスタンスに投げることで、答えのresponseが返ってくるイメージです。

問題の変形

さて、上で見た通り通常のポートフォリオ最適化から

SBMで受け取れるように変形する必要があります。

その際、ウェイト wを求める問題から数量 xを求める問題に変わってしまいますが

それは特に問題ないかなと思います。

2進展開

たとえば、12という数字は、以下のように2進展開できます。

 12 = 0 * 2^{0} + 0 * 2^{1} + 1 * 2^{2} + 1 * 2^{3}

このテクニックを使うことで、

12という数字は (0,0,1,1)という01ベクトルと対応付けることができそうです。

すると、例えば期待リターンが3の証券を12個保有した際の

期待リターンは以下のようにあらわすことができます。

 3 * (1, 2, 4, 8) (0, 0, 1, 1)^{T} = 36

さらに、複数証券のときは、 d = (1,2,4,8)として

期待リターンが3の証券を12個、3.5の証券を10個保有した際は

 (3, 3.5)C(0,0,1,1,0,1,0,1)^{T}=71

ただしCは対角成分に dが並んでいる2*8行列

のようにあらわすことができそうです。

このように考えることで、

 \mu^{T} C x

という形で、証券をxだけ保有した際の期待リターンが求まる。

ただし、これではまだ二次形式になっていないのでSBMには投げれない。

そこで、01ベクトルはその成分を2乗しても変わらないことを利用して

 \mu^{T} C x = x^{T} diag(\mu) \otimes diag(d) x

とすることで、はれて二次形式となる。

そして、リスクについては

 x^{T}C^{T} \Sigma C x

とすれば、 xだけ保有した際のリスクになるので

 x^{T} (C^{T} \Sigma C - diag(\mu) \otimes diag(d)) x

を最小化することで、いわゆるポートフォリオ最適化と類似の問題に帰着する。

コード

最小化するべき二次形式の真ん中の行列をまずは計算する。

サンプルとして以下のようなものを想定する。

import numpy as np


Z = np.zeros((2,2))
Z[0][0] = 10
Z[0][1] = 3
Z[1][0] = 4
Z[1][1] = 7

次にこれを所定の形式で吐き出す。

from scipy.io import mmwrite
from scipy.sparse import csr_matrix


mmwrite('Z.mtx', csr_matrix(Z), field='real', symmetry='symmetric')

最後にこれをSBMインスタンスに投げつけて、

レスポンスを読み取る

from urllib import request


res = request.urlopen(
    request.Request(url='***', data=open('Z.mtx', 'rb'), headers={'Content-Type': 'application/octet-stream'}
)
result = json.load(res.read())

となります。

とはいえ

まぁポートフォリオ最適化だと

整数計画に精緻化するメリットが希薄なのと、

変数の数が2進展開で爆増してしまって

結局スピード面の優位性がそがれるので、

あまり良い事例ではないように感じられます。

東芝社の論文内で述べられている為替の三角裁定や

ダルマキャピタルとの共同研究の株 stat arbのほうが筋が良さそうですね。

ではまた!

今回の関連図書

そこそこわかりやすく記載されていた気がします。