マリアバン解析トレーニング - ゆるふわクオンツの日常

さて、今回はMalliavin Calculusの計算練習をしてみたいと思います！

細かな数学的な背景はさておき、 $D_{s}=\frac{\partial}{\partial dW_{s}}$ くらいの軽いノリ(時刻s時点のブラウン運動をちょびっと変化させた的な)で始めていきたいと思います。

基本方針

基本的には以下の内容をまずは丸覚えして、後から納得していけばいいのではないかと思います.

$F=f(\int_{0}^{T} h(u) dW_{u})$ （ウィーナー汎関数）が与えられた時,
その確率変数 $F$ のマリアバン微分は $D_{t}F=f'(\int_{0}^{T} h(u) dW_{u})h(t)$ となる.

上記の関係式を駆使して計算トレーニングをしていきます（トレーニングということもあり,見ていく関係式はほぼ重複に近いものもあるやや冗長なものになっています^^;）.

$s \le t$ として $D_{s}W_{t}=1$ .
① これは上の公式に当てはめると $F=\int_{0}^{t} dW_{u}$ ですね.
上の書き方に当てはめると $f(x)=x$ で $h(t)=1$ のケースとみなすとわかりやすい.
② $W_{t}$ は $W_{t} = dW_{t_{0}} + dW_{t_{1}} + ... + dW_{t_{n-1}} + dW_{t_{n}=s} + dW_{t_{n+1}} + ...$ と見ると、
両辺にマリアバン微分 $D_{s}=\frac{\partial}{\partial dW_{s}}$ を施すと $D_{s}W_{t} = 0 + 0 + ... + 0 + 1 + 0 + ...$ となる感じですね.
$s \le t$ として $D_{s}f(W_{t})=f'(W_{t})$ .
公式に当てはめると $h(t)=1$ の時ですね.
$s > t'$ として $D_{s}W_{t'}=0$ .
① 公式に当てはめると $f(x)=x, h(t)=1$ ですね.
② $D_{s}=\frac{\partial}{\partial dW_{s}}$ は $dW_{s}$ の微小変化による影響を見ることになるので,
それよりも前の時点の $t'$ には影響がないというイメージですね.
$s \le t$ として $D_{s}(W_{t}-W_{s})=0$ .
$s \le T$ として $D_{s}(\int_{0}^{T} h(u) dW_{u})=h(s)$
① 公式に当てはめると $f(x)=x$ ですね.
② 左辺は $D_{s} (h(u) dW_{u})$ を積み上げて（積分して）いったものなので,
基本的には $D_{s} (h(u) dW_{u})= h(u)( D_{s}dW_{u})$ という風に小分けにしてを考えます.
$h(u)( D_{s}dW_{u})$ は $s=u$ の時以外は $0$ で, $s=u$ の時のみ $h(s)$ を取ることがわかります.
つまり、 $h(u)( D_{s}dW_{u})$ を足し合わせたようなものである $D_{s}(\int_{0}^{T} h(u) dW_{u})$ は
$0+0+...+h(s)+...$ で上記の関係式が成立するということですね.
$s \le T$ として $D_{s}(\int_{0}^{T} h(u) dW_{u})^{n}=n h(s)(\int_{0}^{T} h(u) dW_{u})^{n-1}$
これは, $f(x)=x^{n}$ と見なせば行けそうですね.

マリアバン微分における積の法則

$D_{t}X_{1}X_{2}=(D_{t}X_{1})X_{2}+(D_{t}X_{2})X_{1}$

$s \le T$ として $D_{s}(\int_{0}^{T} g(W_{u}) dW_{u})=\int_{s}^{T} g'(W_{u}) dW_{u}+g(W_{s})$
左辺を $D_{s}g(W_{u}) dW_{u}$ の積み上げとみて,
積の法則を適用すると $D_{s}g(W_{u}) dW_{u}=(D_{s}g(W_{u}))dW_{u}+g(W_{u})(D_{s}dW_{u})$ となります.
第一項は $s \le u$ において $g'(W_{u})$ となり,第二項は $s=u$ の時のみ $g(W_{s})$ となります.

ここで積の法則に加えて,もう一つ合成関数版のマリアバン微分について記載します。

$D_{t}g(X)=g'(X)D_{t}X$

これがあれば, 上から二つ目の $D_{s}f(W_{t})=f'(W_{t})$ なんかはかなり見通しがよくなりますね。

$s \le t \le u$ として $D_{s}D_{t}W_{u}^3=6W_{u}$ .
$S_{T} = S_{0}exp(\mu T+\sigma W(T))$ に対し、時刻 $t$ におけるマリアバン微分 $D_{t}S_{T}$ を考える.
合成関数のマリアバン微分を念頭におけば、 $D_{t}S_{T}= \sigma S_{T} D_{t} W(T) = \sigma S_{T}$ とわかる.