ファイナンスで出てくる確率過程の計算

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これって計算できったけ？

って悩まないようにとりあえずまとめていきます（主に停止時刻系）

今後も継続的に加筆していく予定です.

マルチンゲール

$W_{t}^{2} -t$ はマルチンゲール.
- 一般に、二乗可積分マルチンゲール $M_{t}$ に対して、 $M_{t}^{2}$ は劣マルチンゲールになるので、それにDoob-Mayer分解を適用し、 $M_{t}^{2} = A_{t} + H_{t}$ となる（ $A_{t}$ は可予測過程で $H_{t}$ はマルチンゲール）。
- 上記のDoob-Mayerで、可予測過程が $t$ となるのは、連続ならブラウン運動しかないらしい.
$exp(-\frac{1}{2} \sigma^{2} t + \sigma W_{t})$ はマルチンゲールで、指数マルチンゲールと呼ばれる.
- 対数正規分布に従う.
- こいつが絡んだ期待値は、ギルサノフの定理（測度変換）を用いて $E^{P}[exp(-\frac{1}{2} \sigma^{2} t + \sigma W_{t})f(W_{t})]=E^{Q}[f(W^{'}_{t})]$ と簡単にできる( $W^{'}_{t}=W_{t}-\sigma$ ).

停止時刻系

停止時刻としては、first hitting time（到達時刻）が有名であるが、他にも滞在時間や脱出時間などがある。
$E[1_{\{ f(t,W_{t}) \geq 0\}}]=P(f(t,W_{t}) \geq 0)$
- インディケーターは $E[(g(t,W_{t}))^{+}]= E[1_{\{ g(t,W_{t}) \geq 0 \}}g(t,W_{t})]$ の変形時によくでてくる.
ドリフト付きブラウン運動の最大値 $M_{T} = \max_{0 \leq t \leq T} \{ \mu t+W_{t}\}$ の密度関数は $f_{M_{T}^{\mu}}(x)=\frac{2}{\sqrt{2πT}} e^{-\frac{(x-\mu T)^{2}}{2T}} -2\mu e^{2\mu x}\Phi(\frac{-x-\mu T}{\sqrt{T}})$ で与えられる.
- これの証明はかなり面倒なので気持ちが乗った時に加筆します...
ドリフト付きブラウン運動 $\mu t+W_{t}$ が初めて $a$ に達する停止時刻 $\tau_{a}$ の密度関数は $f_{\tau_{a}}(t)=\phi(\frac{a-\mu t}{\sqrt{T}})(\frac{a}{ t^{3/2}})$ で与えられる.
- これは $P(\tau_{a} \leq t)=P(M_{T} \geq a)$ を時間で微分して求められる.
- また、この分布は逆ガウス分布と呼ばれる.
ドリフト付きブラウン運動 $\mu t+W_{t}$ の停止時刻 $\tau_{a}$ のラプラス変換は $E[exp(- \lambda \tau_{a})] =exp(-a(-\mu+ \sqrt{\mu ^{2} + 2 \lambda} ))$ で与えられる.

Jump過程系

確率変数 $\tau_{i}$ が指数分布 $f(\tau_{i}) = \lambda exp(-\lambda \tau_{i})$ に従い,これにより点過程 $A = \{ \tau_{1},\tau_{1}+\tau_{2},... \}$ を構成する.

この点過程 $A$ に対する計数過程 $N(t)=Count(x_{i} \in [0,t ] | x_{i} \in A )$ はポアソン過程と呼ばれ, $f(k)= \frac{(\lambda t)^{k}exp(-\lambda t)}{k!} (k=0,1...)$ のポアソン分布に従う.

指数分布の性質より,ある会社の生存確率 $P(\tau_{i} > t)=exp(-\lambda t)$ で与えられる.
これは、フォッカープランクのForward Equationから導出するのがシンプル.
ポアソン過程において,強度 $\lambda$ が確率的に変動する場合,Cox過程といい,確率密度関数は $f(k)=\frac{E[ (\lambda t)^{k}exp(-\lambda t)]}{k!}$ となる.
- 強度が確率的な場合は,ある会社の生存確率 $P(\tau_{i} > t)=E[exp(-\int_{0}^{t}\lambda(u)du )]$ で与えられる.

今回の関連書籍

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ファイナンスの定番教科書ですね。

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これの前の版を持ってたのですが、計算練習が多く載ってた気がします。